Materi Matemtika : Perpangkatan dan Penarikan Akar dan Kesalahan Konsepnya

BAB II

PEMBAHASAN

MODUL 4

 PERPANGKATAN / PENARIKAN AKAR

A.    PENGERTIAN BILANGAN BERPANGKAT

Apabila sebuah bilangan real dilambangkan dengan huruf a kemudian bilangan bulat dilambangkan dengan huruf n, maka bilangan berpangkat dapat kita tuliskan menjadi an (a pangkat n) yang mana merupakan perkalian bilangan a secara berulang sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan rumus di bawah ini:

Dalam contoh ini terdapat 5 faktor yang sama, yaitu bilangan 2. Perkalian berulang tersebut dapat pula disajikan dalam bentuk bilangan berpangkat (perpangkatan) yaitu:

2 X 2 X 2 X 2 X 2  =  2

25 dibaca “dua dipangkatkan lima” atau disingkat “dua pangkat lima”

2 disebut bilangan pokok atau bilangan yang dipangkatkan

5 disebut pangkat atau eksponen.

B.     JENIS-JENIS BILANGAN BERPANGKAT

Ada beberapa jenis bilangan berpangkat yang dibedakan berdasarkan nilai atau jenis bilangan yang menempati posisi pangkat.

1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

ini merupakan hasil dari penyederhanaan sebuah perkalian bilangan yang memiliki faktor yang sama. Contohnya:

4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4⁵

maka 4⁵ dapat diartikan sebagai perkalian 4 dengan 4 yang diulang sebanyak 5 kali. Oleh karenanya, bilangan berpangkat secara umum dirumuskan sebagai berikut:

aⁿ = a × a × a ×……..× a ( sebanyak n faktor)

a = bilangan pokok (dasar)

n = pangkat (eksponen)

Contohnya:

a⁷ = a x a x a x a x a x a x a

5⁷ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 78125

2. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Bilangan berpangkat bulat negatif terjadi apabila di dalam operasi hitung pembagian bilangan berpangkat nilai atau angka pangkat pembagi lebih besar  dari pada nilai pangkat yang dibagi.

Contoh:

 

3. Bilangan berpangkat nol

Amatilah bilangan berpangkat nol di bawah ini!

C.    SIFAT SIFAT BILANGAN BERPANGKAT

Di dalam operasi hitung bilangan berpangkat, ada beberapa sifat yang biasa dijadikan aturan dasar dalam menyelesaikan persoalan-persoalan yang menggunakan bilangan berpangkat.  Berikut adalah sifat-sifat dari bilangan berpangkat:

1.      Perkalian Bilangan Berpangkat

a^m x aⁿ         = (  ) x ( )

                   = (  )

                   = a^m+n

Contoh : 2² x 2³              = (2 x 2) x (2 x 2 x 2)

                                    = 2⁵

                                    = 2²⁺³

            Jadi, 2² x 2³     = 2²⁺³

2.      Pembagian Bilangan Berpangkat

a^m :  aⁿ    =   : (   )

= (   )

                            

=

Contoh :

1.      3⁶ : 3²                = 3^6-2

                                = 3⁴

2.      7¹¹ : 7² x 7         = (7¹¹ : 7²) x 7

= 7^11-2+1

=7¹⁰

3.      Sifat perpangkatan bilangan berpangkat

ⁿ           =  

                   =   

                        =       

                      

          Contoh:

                   (3⁴)⁵   = 3^4x5

                             = 3²⁰

4.      Sifat Perpangkatan Suatu Bilangan Perkalian

      =

                        =  x

                   = x

           

            Contoh :

                        ( 2 x 3)²            = 2² x 3²

                                                = 4 x 9

                                                = 36

5.      Sifat Perpangkatan Suatu Bilangan Pembagian

     =

                        =  :

                   = :

            Contoh :

                        ( 6 : 2 )³           = 6³ : 2³

                                                                = 3³

                                                                = 27

D.    PENARIKAN AKAR

Penarikan akar pada bilangan bulat hanya dilakukan pada bilangan bulat positif.  Proses mencari akar pangkat dua adalah proses  inverse dari proses mencari kuadrat atau dengan istilah :

“Penarikan akar adalah inverse dari perpangkatan”

      Dapat dilihat pada pasangan bilangan 4 dan 2, pasangan 9 dan 3, pasangan 16 dan 4, sebagai relasi “kuadrat dari” yaitu :

4 adalah kuadrat dari 2

9 adalah kuadrat dari 3

16 adalah kuadrat dari 4

      Jika dilihat pada perpangkatannya dapat ditulis dalam bentuk pangkat dua (kuadrat), yaitu :

4 = 2²

9 = 3²

16 = 4²

      Lambang untuk relasi akar (akar pangkat dua) adalah ” yang berlaku secara universal sehingga  secara singkat notasi penarikan akar.  Contoh :

 = 5 , sebab 5² = 25,

 = 9 , sebab 9² = 81

      Secara umum dapat ditulis :

= , sebab b²= a

Penarikan akar dari sebuah bilangan dapat dipandang sebagai pemfaktoran bilangan itu atas faktor-faktor yang sama , misalnya :

 =  = 4

 =  = 5

      Dalam hal ini jelas bahwa pangkat akarnya menunjukan banyaknya faktor yang sama. Pangkat akar ini dapat saka ditingkatkan lebih lanjut,misalnya :

 adalah bilangan yang bila dipangkatkan 3 sama dengan 8

 adalah bilangan yang bila dipangkatkan 3 sama dengan 27

      Hal ini berarti :

                               ,sebab

                                 ,sebab

            Secara umum kita dapat menuliskan lambang penarikan akar hubungannya dengan perpangkatan sebagai berikut :

, sebab  = a.

            Proses pemfaktoran sebuah bilangan menjadi 2 faktor, 3 faktor, atau lebih faktor-faktor yang sama meliputi pembagian pangkatnya oleh 2, oleh 3, dst, misalnya:

 =  =  =  =  = 3

            Secara umum dapat kita simpulkan bahwa untuk tiga buah bilangan a, m, dan n berlaku hubungan:

 =

dibaca: “akar pangkat m dari a pangkat n adalah sama dengan a pangkat n dibagi m”

Kesalahan Konsep dalam Perpangkatan dan Penarikan Akar

Perlu pula kita keatahui bahwa adakalanya terjadi kesalahan konsep yang dilakukan oleh siswa dalam pembelajaran perpangkatan maupun penarikan akar. Beberapa kesalahan yang sering terjadi diantaranya:

a.       Masih ada siswa yang belum memahami konsep perpangkatan, diantaranya siswa masih melakukan perkalian antara bilangan pokok dengan pangkatnya (eksponennya), missal : 2³ = 2 x 3, 3³ = 3 x 3 dan sebagainya.  Namun, untuk perpangkatan kuadrat mereka memberikan jawaban yang benar, misalnya 2² = 2 x 2, 3² = 3 x 3 dan sebagainya.

b.      Dalam melakukan perkalian bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama sering pula terjadi dilakukan dengan mengalikan pangkatnya, misalnya : 2³ x 2²

c.       Kesalahan yang paling terjadi, yaitu pada pembagian bilangan berpangkat oleh bilangan pokok yang sama dilakukan dengan cara membagi pangkatnya, bukan dengan cara mengurangkan pangkat yang dibagi oleh pangkat pembagi, misalnya: 2⁶ : 2² = 2^6:2.

d.      Masih pula terjadi kekeliruan dalam menentukan hasil sebuah bilangan berpangkat yang pangkatnya lebih besar sehinggamenghasilkan bilangan negative, walaupun prosesnya sudah benar, misalnya:

2³ : 2⁵ = 2^3-5 = 2^-2 = -4

            Mereka beranggapan bahwa tanda negative dari a^-n menunjukan a^-n bilangan negative.

e.       Demikian pula pada penarikan akar masih terjadi beberapa kesalahan konsep, diantaranya mereka sudah memahami bahwa : “akar pangkat m dari a pangkat n adalah sama dengan a pangkat n dibagi m” sehingga memberikan hasil perhitungan yang benar. Namun dalam proses perhitungannya masih ada yang membuat kekeliruan sebagai berikut:

 =  =  = 3²     

Dalam hal ini walaupun hasil akhirnya benar, tetapi pada proses perhitungan telah terjadi kesalahan.

f.       Hal yang masih sering terjadi kesalahan dalam penarikan akar adalah penarikan akar kuadrat, misalnya:  = ± 3,  = ±4. Memang kita sudah memahami bahwa sebuah bilangan positif merupakan hasil kali dua bilangan positif atau dua bilangan negative. Karenanya banyak yang beranggapan bahwa akar pangkat dua dari sebuah bilangan positif mempuyai dua kemungkinan nilai, yaitu nilai positif dan nilai negative, misalnya:  = 5, sebab 25 = 5²  dan

             = -5, sebab 25 = (-5)² jadi

            = ±5

            Namun demikian dalam penarikan akar dibatasi hanya pada bilangan positif saja, sehingga kita tetapkan sebagai definisi:

            akar pangkat dua dari bilangan positif adalah bilangan positif